Allez jusqu'aux limites !

Nous attaquons un nouveau chapitre sur l'étude de fonctions. La première partie concerne le calcul des limites de fonctions.

Alors d'abord pourquoi étudier les fonctions ? A quoi ça sert ?   A cette question posée déjà quand j'étais au Lycée, une des réponses que j'ai eu :    « Car C'EST AU PROGRAMME ! »

Bon, on peut aussi répondre que l'étude de la trajectoire de satellite, l'étude de la production d'une usine industrielle, l'interprétation d'une image médicale au rayon X reposent tous sur des fonctions complexes certes mais jouant en majorité avec des racines carrés, des exponentielles, des sinus / cosinus ....

Alors, concentrez vous bien, car ces fonctions sont tellement importantes qu'ils vous suivront certainement après le Bac, en Master, en Doctorat et probablement après   !  Vous voilà prévenus ...

D'abord une définition un peu barbare, Mais, que l'on utilisera quasiment jamais ( futurs taupes de classes prépas pour vous c'est différent ) :

Soit une fonction définie sur l'intervalle de la forme ]a, + ∞  [.

On dit qu'une fonction f admet une limite +∞ lorsque x tend  vers +∞, si et seulement si,

pour tout réel A, il existe un nombre x₀ ∈ ]a, + ∞[, tel que si x  x₀, alors   f (x)  A.

En gros, à chaque fois qu'on a trouvé le Maximum de f i.e. A, alors on se rend compte qu'il existe un x₀ tel que f (x₀ ) est plus grand que  ce  A !    donc f (x) n'a pas vraiment de Maximum et tend vers + ∞ !

Voilà pour la définition, qui est vraie aussi pour -∞ !

Maintenant, comment calcule - t - on concrètement une limite au Lycée ?

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En trois coups :

• Fonctions de références

• Propriétés des limites

• Résolution des formes indéterminées

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Fonctions de références :

D'abord il faut, j'insiste il faut, apprendre et utiliser les limites des fonctions de références :

Elles sont résumées dans le tableau suivant :

On peut toujours retrouver ces limites, on dessinant rapidement à la main ou à la calculatrice la courbe des ses fonctions !

Exple :

                           

Si la variable x augmente 0, 20, 40  ..., la valeur de f (x) augmente elle aussi 0, 2000, 4000, 6000 ... !   On peut alors retrouver que :

 

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Ceci est la première étape : utilisation de fonctions de référence ! Mais insuffisante car que vaut alors +∞ + +∞    ?  ou  -∞ * -∞ ?

C'est ce que l'on verra dans le prochain billet ...

Révisez bien !